Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Учительница выписывает на доску последовательность цифр по следующему правилу: если последняя и предпоследняя выписанные цифры были равны $a$ и $b$, то на доску учительница записывает последнюю цифру числа $a\cdot b$. Например, если изначально на доске были бы записаны цифры 1 и 8, то последовательность была бы продолжена как $1; 8; 8; 4; 2; \ldots$. Известно, что изначально на доске были записаны цифры 3 и 4. Какая цифра будет записана 2019-ой?

Комментарий/решение

Заметим что в последовательности $3,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4...$ цикл после первой цифры $4,2,8,6,8,8$ это означает что через каждую $6$ последовательности числы повторяются $2019-1\equiv 2 \pmod {6} \Rightarrow$ а у нас в цикле Второе число $2$.