Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Мұғалім тақтаға төмендегі ережеге сәйкес цифрлар тізбегін жазады: егер соңғы және оған дейінгі жазылған цифрлар $a$ мен $b$ болса, онда мұғалім келесі сан ретінде $a \cdot b$ санының соңғы цифрін жазады. Мысалы, егер бастапқыда 1 және 8 сандары тақтада жазылған болса, тізбек былай жалғастырылады: 1; 8; 8; 4; 2; $\ldots$. Бастапқыда тақтада 3 пен 4 цифрлары жазылған. 2019-ші сан неге тең?

Комментарий/решение

Заметим что в последовательности $3,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4...$ цикл после первой цифры $4,2,8,6,8,8$ это означает что через каждую $6$ последовательности числы повторяются $ 2019-1\equiv 2 \pmod {6} \Rightarrow$ а у нас в цикле Второе число $2$.