Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все вещественные решения уравнения

${{(x+y)}^{2}}=(x+1)(y-1).$
комментарий/решение(5)

Задача №2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник

$ABC$ . Пусть

$M$ — середина катета

$AB$ . Прямая, проходящая через

$A$ перпендикулярно

$CM$ , пересекает гипотенузу

$BC$ в точке

$P$ . Докажите, что

$\angle AMC = \angle BMP$ .
комментарий/решение(8)

Задача №3. Вычислите значение выражения:

$(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 1^\circ)(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 2^\circ)\dots (1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 44^\circ)$ .
комментарий/решение(4)

Задача №4. На каждой стороне прямоугольника со сторонами 3 и 4 выбрано по одной точке. Выбранные точки соединили таким образом, что получился выпуклый четырехугольник со сторонами

$x$ ,

$y$ ,

$z$ ,

$u$ . Докажите, что

$25\leq x^2+ y^2+z^2+u^2 \leq 50.$
комментарий/решение(2)

Задача №5. Найдите количество положительных целых чисел

$n$ , одновременно удовлетворяющих следующим условиям:
а) десятичная запись числа

$n$ содержит не более 10 цифр;
б)

$n$ не делится на 10.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Докажите, что если рациональные числа

$a$ и

$b$ удовлетворяют соотношению

$a^5 + b^5 = 2a^2b^2$ , то число

$1 - ab$ является квадратом рационального числа.
комментарий/решение(5)