Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теңдеудің барлық нақты шешімдерін табыңдар:

${{(x+y)}^{2}}=(x+1)(y-1).$
комментарий/решение(5)

Есеп №2. Теңбүйірлі тікбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ катетінің ортасы.

$A$ төбесі арқылы өтетін

$CM$ кесіндісіне перпендикуляр түзу

$BC$ гипотенузасын

$P$ нүктесінде қиып өтеді.

$\angle AMC=\angle BMP$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(8)

Есеп №3. Өрнектің мәнін есептеп табыңдар:

$(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 1^\circ)(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 2^\circ)\dots (1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 44^\circ).$
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Қабырғаларының ұзындықтары 3 және 4 болатын тіктөртбұрыштың әр қабырғасынан бір нүктеден таңдап алынған. Бұл нүктелерді кесінділермен қосып, қабырғаларының ұзындықтары

$x,y,z,u$ болатын дөңес тіктөртбұрыш алынды. Осы ұзындықтар

$25 \le {x^2} + {y^2} + {z^2} + {u^2} \le 50$ теңсізідігін қанағаттандыратынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Төмендегі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратынын қанша оң бүтін

$n$ саны табылатынын анықтаңдар:
a)

$n$ санының ондық жазбасының ұзындығы 10 цифрдан аспайды;
b)

$n$ саны 10-ға бөлінбейді.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Егер

$a$ және

$b$ рационал сандары

${a^5} + {b^5} = 2{a^2}{b^2}$ теңдігін қанағаттандыратын болса, онда

$1-ab$ саны рационал санның квадраты болатынын дәлелде.
комментарий/решение(5)