Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Докажите, что если рациональные числа $a$ и $b$ удовлетворяют соотношению $a^5 + b^5 = 2a^2b^2$, то число $1 - ab$ является квадратом рационального числа.

Комментарий/решение

Произведём замену: $a^2=x$, $b^2=y$

Получим уравнение: $x^2\sqrt{x}-2xy+y^2\sqrt{y}=0$

Дискриминант-

$D=4y^2-4y^2\sqrt{xy}$

Так как уравнение разрешимо в рациональных числах числах, дискриминант является квадратом рационального числа.

$D=4y^2-4y^2\sqrt{xy}=k^2$

$1-\sqrt{xy}=\frac{k^2}{4y^2}=(\frac{k}{2y})^2$

Что и нужно было доказать.

Как вы рассматриваете квадратное уравнение, если коэффициенты в нём не константы?

Решения с сайта artofproblemsolving.com:

artofproblemsolving.com/community/c6h317266p1706339...

$(a^2)^2 \cdot a - a^2 \cdot 2b^2 + b^5 = 0$

$D$ $=$ $4b^4 - 4ab^5 = 4b^4(1 - ab)$. Так как $4b^4 = (2b^2)^2$ то $1 - ab$ тоже квадрат рационального числа