Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып
Егер $a$ және $b$ рационал сандары ${a^5} + {b^5} = 2{a^2}{b^2}$ теңдігін қанағаттандыратын болса, онда $1-ab$ саны рационал санның квадраты болатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Произведём замену: $a^2=x$, $b^2=y$
Получим уравнение: $x^2\sqrt{x}-2xy+y^2\sqrt{y}=0$
Дискриминант-
$D=4y^2-4y^2\sqrt{xy}$
Так как уравнение разрешимо в рациональных числах числах, дискриминант является квадратом рационального числа.
$D=4y^2-4y^2\sqrt{xy}=k^2$
$1-\sqrt{xy}=\frac{k^2}{4y^2}=(\frac{k}{2y})^2$
Что и нужно было доказать.
Решения с сайта artofproblemsolving.com:
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.