4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур
Задача №1. Первый фонтан наполняет бассейн за 2 часа 30 минут, а второй — за 3 часа 45 минут. За какое время наполняют бассейн оба фонтана, работая вместе?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. АА, ББ, ВВ и ГГ играли между собой в настольный теннис. АА сыграл 30 партий, ББ — 20, ВВ — 17, ГГ — 13. Сколько всего было сыграно партий?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Периметр треугольника $ABC$ равен 49 см. Известно, что сторона $AB$ в полтора раза больше чем сторона $BC$, и на 7 см больше чем сторона $AC$. Найдите сторону $BC$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Известно, что $|a|=19$, $|b|=20$, $|c|=21$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a-b+c$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Площадь фигуры, нарисованной на клетчатой бумаге (см. рисунок ниже) равна $29,\!04$ см$^2$. Чему равна сторона клеточки?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. На прямой отмечены точки $A$, $B$ и $C$ так, что $AC=12$ см, $BC=9$ см. Чему может быть равно расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Найдите значение выражения $\frac{ab+a+b+1}{bc+b+c+1}:\frac{ed+e+d+1}{cd+c+d+1}$ при $a=2019$ и $e=1$.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №8. Напомним, что магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Из чисел 2019, 2020, $\ldots$, 2027 составили магический квадрат размера $3 \times 3$. Какое число расположилось в центре квадрата?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №9. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$. Найдите углы этого треугольника, если известно, что $AK=BM=AB$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №10. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого делится на 2009.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №11. На окружности отмечено 40 точек. Каждые две из них соединили отрезком. Сеня покрасил точки в два цвета. Какое наибольшее количество отрезков с концами в точках разного цвета могло получиться?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №12. В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен $\alpha$. Через час он опять равен $\alpha$. Найдите все возможные значения $\alpha$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №13. В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число стоящих пассажиров было в два раза больше числа сидящих. На остановке из автобуса вышло $4\%$ всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №14. Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №15. Под словом АЛМАТА зашифровали некоторое натуральное число, делящиеся на 45. Также известно, что при шифровке не использовали цифру 0. Найдите наименьшее возможное значение суммы цифр этого зашифрованного числа. (В шифровке одинаковые буквы означает одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №16. Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе напишите сумму чисел, которые надо вычеркнуть.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №17. Палиндромом называют те числа, которые не изменяются при написании в обратном порядке. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех шестизначных палиндромов.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №18. Вычислите: $$\left(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+\ldots+\frac{2017+2018}{2019}\right)+\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{673}\right).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №19. Из числа $13^{100}$ вычли наибольший его делитель, не равный самому числу. Из полученной разности также вычли наибольший её делитель, не равный ей самой, и т.д., пока после очередного вычитания не получилась единица. Сколько всего вычитаний было произведено?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №20. Известно, что $ab=1$, $(2a+b)(a+2b)=2019$. Найдите значение суммы $a^2+b^2$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)