4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур
Известно, что $ab=1$, $(2a+b)(a+2b)=2019$. Найдите значение суммы $a^2+b^2$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:1007
(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2=2019
2a^2+2b^2+5=2019
2(a^2+b^2)=2014
a^2+b^2=1007
Решение:
Мы первым делом перемножаем скобки:
$2a^2+5ab+2b^2=2019$
Мы знаем что $ab=1$, значит $5ab=5$
Тогда $2a^2+2b^2=2019-5 \Rightarrow 2a^2+2b^2=2014 \Rightarrow 2(a^2+b^2)=2014$
Теперь мы $2$ переводим на правую сторону, и выходит то что $a^2+b^2=1007$, что и требовалось найти.
Ответ: $a^2+b^2=1007$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.