4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Палиндромом называют те числа, которые не изменяются при написании в обратном порядке. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех шестизначных палиндромов.

Комментарий/решение

Скорее всего ответ будет 444444

потому-что если мы будем брать такие числа как 222222:444444 то будет нод 222222

а если 999999:333333 то их нод будет составлять 333333

но если брать 888888:444444 то нод будет их 444444

Ответ:444444

Наверное имелось ввиду не наибольший возможный НОД, а НОД всех палиндромов вместе взятых, поэтому там не может быть такой ответ.

Пусть есть число $\overline{a_1a_2a_3a_3a_2a_1}$, тогда сумма сумма цифр на четных местах равна сумме цифр на четных местах десятичной записи:

$$a_1+a_3+a_2=a_2+a_3+a_1,$$

то есть все шестизначные палиндромы делятся хотя бы на $11$ (по признаку делимости на $11$). Тогда рассмотрим число $111111$, которое при делении на $11$ переходит в число $10101$, которое делится на $3$ и остальную шелуху. Далее просто рассмотрим число $100001/11=9091$, которое, как все знают, является простым, поэтому $100001$ не делится на $3$ и остальное. Таким образом все шестизначные палиндромы необязательно делятся (нацело) на $9$, но точно делятся на $11$ (и $1$), поэтому их всеобщий НОД есть $11$.