Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Найдите все пары $(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющих уравнению $\left(x^3+\frac{1}{x}\right)\left(y^3+\frac{1}{y}\right)=4(x^2-y^2).$ ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Для начала поделим наше равенство на xy(мы можем так делать, тк $x, y \ne 0$)

$(x^2+\frac{1}{x^2})(y^2+\frac{1}{y^2})=4(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})$

Давайте $LHS$ раскроем по тождеству Брахмабухты

$(xy+\frac{1}{xy})^2+(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})^2=4(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})$

Переносим $(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})^2$

$(xy+\frac{1}{xy})^2=(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})(4-(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}))$

Заметим, что $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+4-(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})=4$

Ну тогда, просто используем метод Штурма, причем мы можем его использовать так как:

$(x^2+\frac{1}{x^2})(y^2+\frac{1}{y^2})=4(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})$

Откуда следует

$4\leq(x^2+\frac{1}{x^2})(y^2+\frac{1}{y^2})=4(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})$

Поэтому $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\geq1>0$

А также второй множитель > 0, так как у нас их произведение - квадрат который хотя бы 0.

Тогда при сближении этих чисел, произведение увеличится, т.е.

$(xy+\frac{1}{xy})^2\leq 4$

Но заметим, что $(xy+\frac{1}{xy})^2\geq 4$

Потому что если $xy>0$, то просто AMGM

Если $xy<0$, то пусть $xy=-a$

тогда $(xy+\frac{1}{xy})^2=(-a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2$, ну и аналогично

Тогда $4 \leq (xy+\frac{1}{xy})^2\leq 4$

Тогда $(xy+\frac{1}{xy})^2=4$

Значит $xy= \pm 1$

А также, так как в Штурме было неравенство то

$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=2.$

Ну и теперь просто решаем эти уравнения

1) Если $xy= 1$

$x^2-y^2=2xy$

Несложными вычислениями можно понять, что

$x=1 \pm \sqrt{2}y$

Тогда у нас либо

$xy=y^2(1+\sqrt{2})=1$, откуда первая пара ответов $y=\pm \frac{1}{1+\sqrt{2}}$, и x аналогично находится

Либо

$xy=y^2(1-\sqrt{2})=1$, противоречие, $LHS<0$

2)Если $xy= -1$

Либо

$xy=y^2(1-\sqrt{2})=-1$, откуда вторая пара ответов $y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}-1}$, и x аналогично находится

Либо

$xy=y^2(1+\sqrt{2})=-1$ противоречие, $RHS<0$

Combi одобряет

Екі жақа да $xy$ көбейтеміз:

$xy$ $(x^3$ $+$ $\dfrac{1}{x}$ $)$ $\cdot$ $(y^3+ \dfrac{1}{y})$ = $4xy(x^2-y^2)$ $\Rightarrow$ $0$ = $x^4y^4+x^4+y^4+1-4xy(x^2-y^2)$ = $(x^2-y^2)^2$+$(x^2-y^2)^2$+$4x^2y^2-4xy(x^2-y^2)$ = $(x^2y^2-1)^2$+$(x^2-y^2-2xy)^2$. Получим, $xy$ = $1$, $xy$ = $-1$, $x^2-y^2$ = $2xy$. Все потом easy.

Бұл мен өмірімде көрген 1 комментарийде 3 тіл қолданылған жалғыз комментарий шығар)

P.S. Жақсы шешім

бұл авторлық шешім

Бұл есепті Алматыдағы 10-сыныптардан тек 2 оқушы шығарды.