Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Для начала поделим наше равенство на xy(мы можем так делать, тк x,y≠0)
(x2+1x2)(y2+1y2)=4(xy−yx)
Давайте LHS раскроем по тождеству Брахмабухты
(xy+1xy)2+(xy−yx)2=4(xy−yx)
Переносим (xy−yx)2
(xy+1xy)2=(xy−yx)(4−(xy−yx))
Заметим, что xy−yx+4−(xy−yx)=4
Ну тогда, просто используем метод Штурма, причем мы можем его использовать так как:
(x2+1x2)(y2+1y2)=4(xy−yx)
Откуда следует
4≤(x2+1x2)(y2+1y2)=4(xy−yx)
Поэтому xy−yx≥1>0
А также второй множитель > 0, так как у нас их произведение - квадрат который хотя бы 0.
Тогда при сближении этих чисел, произведение увеличится, т.е.
(xy+1xy)2≤4
Но заметим, что (xy+1xy)2≥4
Потому что если xy>0, то просто AMGM
Если xy<0, то пусть xy=−a
тогда (xy+1xy)2=(−a−1a)2=(a+1a)2, ну и аналогично
Тогда 4≤(xy+1xy)2≤4
Тогда (xy+1xy)2=4
Значит xy=±1
А также, так как в Штурме было неравенство то
xy−yx=2.
Ну и теперь просто решаем эти уравнения
1) Если xy=1
x2−y2=2xy
Несложными вычислениями можно понять, что
x=1±√2y
Тогда у нас либо
xy=y2(1+√2)=1, откуда первая пара ответов y=±11+√2, и x аналогично находится
Либо
xy=y2(1−√2)=1, противоречие, LHS<0
2)Если xy=−1
Либо
xy=y2(1−√2)=−1, откуда вторая пара ответов y=±1√2−1, и x аналогично находится
Либо
xy=y2(1+√2)=−1 противоречие, RHS<0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.