Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс


(x3+1x)(y3+1y)=4(x2y2) теңдігін қанағаттандыратын барлық (x,y) нақты сандар жұптарын табыңыз. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 месяца 27 дней назад #

Для начала поделим наше равенство на xy(мы можем так делать, тк x,y0)

(x2+1x2)(y2+1y2)=4(xyyx)

Давайте LHS раскроем по тождеству Брахмабухты

(xy+1xy)2+(xyyx)2=4(xyyx)

Переносим (xyyx)2

(xy+1xy)2=(xyyx)(4(xyyx))

Заметим, что xyyx+4(xyyx)=4

Ну тогда, просто используем метод Штурма, причем мы можем его использовать так как:

(x2+1x2)(y2+1y2)=4(xyyx)

Откуда следует

4(x2+1x2)(y2+1y2)=4(xyyx)

Поэтому xyyx1>0

А также второй множитель > 0, так как у нас их произведение - квадрат который хотя бы 0.

Тогда при сближении этих чисел, произведение увеличится, т.е.

(xy+1xy)24

Но заметим, что (xy+1xy)24

Потому что если xy>0, то просто AMGM

Если xy<0, то пусть xy=a

тогда (xy+1xy)2=(a1a)2=(a+1a)2, ну и аналогично

Тогда 4(xy+1xy)24

Тогда (xy+1xy)2=4

Значит xy=±1

А также, так как в Штурме было неравенство то

xyyx=2.

Ну и теперь просто решаем эти уравнения

1) Если xy=1

x2y2=2xy

Несложными вычислениями можно понять, что

x=1±2y

Тогда у нас либо

xy=y2(1+2)=1, откуда первая пара ответов y=±11+2, и x аналогично находится

Либо

xy=y2(12)=1, противоречие, LHS<0

2)Если xy=1

Либо

xy=y2(12)=1, откуда вторая пара ответов y=±121, и x аналогично находится

Либо

xy=y2(1+2)=1 противоречие, RHS<0

  5
2 месяца 27 дней назад #

Combi одобряет

  1
2 месяца 27 дней назад #

Екі жақа да xy көбейтеміз:

xy (x3 + 1x ) (y3+1y) = 4xy(x2y2) 0 = x4y4+x4+y4+14xy(x2y2) = (x2y2)2+(x2y2)2+4x2y24xy(x2y2) = (x2y21)2+(x2y22xy)2. Получим, xy = 1, xy = 1, x2y2 = 2xy. Все потом easy.

  1
2 месяца 26 дней назад #

Бұл мен өмірімде көрген 1 комментарийде 3 тіл қолданылған жалғыз комментарий шығар)

P.S. Жақсы шешім

  0
2 месяца 26 дней назад #

бұл авторлық шешім

  0
2 месяца 26 дней назад #

Бұл есепті Алматыдағы 10-сыныптардан тек 2 оқушы шығарды.