А. Баев

Задача №1. Дан неравнобедренный треугольник

$ABC$ .

$A_1$ ,

$B_1$ ,

$C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ .

$Q$ и

$L$ — точки пересечения отрезка

$AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком

$B_1C_1$ соответственно.

$M$ — середина отрезка

$B_1C_1$ .

$T$ – точка пересечения прямых

$BC$ и

$B_1C_1.$

$P$ — основание перпендикуляра из точки

$L$ на прямую

$AT$ . Докажите, что точки

$A_1$ ,

$M$ ,

$Q$ ,

$P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Дан неравнобедренный треугольник

$ABC$ .

$A_1$ ,

$B_1$ ,

$C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ .

$Q$ и

$L$ — точки пересечения отрезка

$AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком

$B_1C_1$ соответственно.

$M$ — середина отрезка

$B_1C_1$ .

$T$ — точка пересечения прямых

$BC$ и

$B_1C_1.$

$P$ — основание перпендикуляра из точки

$L$ на прямую

$AT$ . Докажите, что точки

$A_1$ ,

$M$ ,

$Q$ ,

$P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник, в котором

$AB > BC$ и

$AC > BC$ . Обозначим через

$O$ и

$H$ центр описанной окружности и ортоцентр треугольника

$ABC$ , соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника

$AHC$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$M$ , отличной от

$A$ , а описанная окружность треугольника

$AHB$ пересекает прямую

$AC$ в точке

$N$ , также отличной от

$A$ . Докажите, что центр описанной окружности треугольника

$MNH$ лежит на прямой

$OH$ . ( А. Баев )
комментарий/решение(1) олимпиада