қазақша
русскийА. Баев
Есеп №1. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер $BC,AC,AB$ қабырғаларын сәйкесінше ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше $Q$ мен $L$ нүктелерінде қиып өтеді. $M$ нүктесі — ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы. $BC$ және ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі — $L$-дан $AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны. ${{A}_{1}},M,Q,P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларын сәйкесінше ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше $Q$ мен $L$ нүктелерінде қиып өтеді. $M$ нүктесі — ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы. $BC$ және ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі — $L$-дан $AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны. ${{A}_{1}}$, $M$, $Q$, $P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №3. $ABC$ сүйiрбұрышты үшбұрышында $AB > BC$ және $AC > BC$. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрiн және ортоцентрiн сәйкесiнше $O$ және $H$ деп белгiлейiк. $AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$ түзуiн $A$-дан басқа $M$ нүктесiнде қияды, ал $AHB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AC$ түзуiн $A$-дан басқа $N$ нүктесiнде қияды. $MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрi $OH$ түзуiнiң бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(1) олимпиада