А. Баев

Есеп №1. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер

$BC,AC,AB$ қабырғаларын сәйкесінше

${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды.

$A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше

$Q$ мен

$L$ нүктелерінде қиып өтеді.

$M$ нүктесі —

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы.

$BC$ және

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылысады.

$P$ нүктесі —

$L$ -дан

$AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны.

${{A}_{1}},M,Q,P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ қабырғаларын сәйкесінше

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды.

$A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше

$Q$ мен

$L$ нүктелерінде қиып өтеді.

$M$ нүктесі —

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы.

$BC$ және

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылысады.

$P$ нүктесі —

$L$ -дан

$AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны.

${{A}_{1}}$ ,

$M$ ,

$Q$ ,

$P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №3.

$ABC$ сүйiрбұрышты үшбұрышында

$AB > BC$ және

$AC > BC$ .

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрiн және ортоцентрiн сәйкесiнше

$O$ және

$H$ деп белгiлейiк.

$AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AB$ түзуiн

$A$ -дан басқа

$M$ нүктесiнде қияды, ал

$AHB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AC$ түзуiн

$A$ -дан басқа

$N$ нүктесiнде қияды.

$MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрi

$OH$ түзуiнiң бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(1) олимпиада