Исмаилов Ш.Н.

Задача №1. Найдите все функции

$f:\Bbb R\to \Bbb R$ такие, что

$f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ при всех

$x, y\in \Bbb R$ . ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Найдите все

$k>0$ , при которых существует строго убывающая функция

$g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ такая, что

$g(x)\geq kg(x+g(x))$ при всех положительных

$x$ . ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №3. Пусть

$\alpha$ ,

$\beta$ и

$\gamma$ -- углы треугольника, противолежащие сторонам

$a,$

$b$ и

$c$ соответственно. Докажите неравенство

$2\left(\cos ^2\alpha +\cos ^2\beta +\cos ^2\gamma \right) \geq {a^2\over b^2+c^2}+{b^2\over a^2+c^2}+{c^2\over a^2+b^2}.$ ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(7) олимпиада