Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Кез-келген

$x \in \mathbb{R}$ үшін төмендегі теңдік орындалатындай және коэффициенттері бүтін болытындай барлық

$P(x)$ көпмүшесін табыңыз

$16 P(x^2) = \left(P(2x)\right)^2.$
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$a_n$ тізбегі барлық натурал

$n$ үшін келесі формуламен берілген

${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ тоғыздық}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ тоғыздық}}}^2}} .$

$\big\{S\big\}$ санын есептеңіз, бұл жердегі

$S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$ .
Мұнда

$\{x\}$ —

$x$ санының бөлшек бөлігін білдіреді. Мысалы,

$\{5,64\ = 5,64 - 5 = 0,64$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңбүйірлі

$ABC$ (

$AB =BC$ ) үшбұрышының ішінен

$P$ нүктесі алынған.

$\angle BAC = 30^\circ$ ,

$AP = 2\sqrt{3}$ ,

$BP = 2$ ,

$CP = 2\sqrt{6}$ екені белгілі.

$ABC$ үшбұрышының ауданын табыңыз.
комментарий/решение(3)