Районная олимпиада, 2021-2022 учебный год, 11 класс

Последовательность $a_n$ при всех натуральных значениях $n$ задаётся формулой ${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2}} .$
   Вычислите $\big\{S\big\}$, где $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$.
   Здесь $\{x\}$ означает дробную часть числа $x$. Например, $\{5,64\} = 5,64 - 5 = 0,64$.

Комментарий/решение

Перезапишем $n$ девяток в квадрате как: $(10^n-1)^2$, а дробные девятки в квадрате как $(\frac{(10^n-1)}{10^n})^2$. Раскроем квадраты и добавим однерку и получим: $(10^n-1+\frac{1}{10^n})^2.$ Уберём квадрат ибо выражение в корне, и в итоге получится ответ: $0.1+0.01+…$, или же $0.11…1$ где $2022$ единиц в конце.