қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2021-2022 учебный год, 11 класс
Задача №1. Найдите все такие многочлены $P(x)$ с целыми коэффициентами, которые при любых $x \in \mathbb{R}$ удовлетворяют равенству $16 P(x^2) = \left(P(2x)\right)^2.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Последовательность $a_n$ при всех натуральных значениях $n$ задаётся формулой ${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2}} .$
Вычислите $\big\{S\big\}$, где $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$.
Здесь $\{x\}$ означает дробную часть числа $x$. Например, $\{5,64\} = 5,64 - 5 = 0,64$.
комментарий/решение(1)
Вычислите $\big\{S\big\}$, где $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$.
Здесь $\{x\}$ означает дробную часть числа $x$. Например, $\{5,64\} = 5,64 - 5 = 0,64$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB =BC$) выбрана точка $P$. Известно, что $\angle BAC = 30^\circ$, $AP = 2\sqrt{3}$, $BP = 2$, $CP = 2\sqrt{6}$. Найти площадь треугольника $ABC$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)