Районная олимпиада, 2021-2022 учебный год, 11 класс

Задача №1. Найдите все такие многочлены

$P(x)$ с целыми коэффициентами, которые при любых

$x \in \mathbb{R}$ удовлетворяют равенству

$16 P(x^2) = \left(P(2x)\right)^2.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Последовательность

$a_n$ при всех натуральных значениях

$n$ задаётся формулой

${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2}} .$
Вычислите

$\big\{S\big\}$ , где

$S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$ .
Здесь

$\{x\}$ означает дробную часть числа

$x$ . Например,

$\{5,64\} = 5,64 - 5 = 0,64$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Внутри равнобедренного треугольника

$ABC$ (

$AB =BC$ ) выбрана точка

$P$ . Известно, что

$\angle BAC = 30^\circ$ ,

$AP = 2\sqrt{3}$ ,

$BP = 2$ ,

$CP = 2\sqrt{6}$ . Найти площадь треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(3)