Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Шешуі: Нүктесінен айналдыра 120∘ қа бұруды қарастырайық. Бұл бұруда A нүктесі C нүктесіне, ал P нүктесі P1 нүктесіне және AP кесіндісі CP1 кесіндісіне көшеді. VRR1 үшбұрышы тең бүйірлі болғандықтан VR=VR1=2, CR1=2√3, RC=2√6. △VRR1 – дан RR21=VR2+VR21−2VR⋅VR1cos(∠PBP1).
∠PBP1=120∘, PR21=4+4−8(−1/2)=12. PP1=2√3. △PRR1 – дан PR1C2=PR21+PC2−2PP1⋅PCcos(∠P1PC), яғни 12+24−2⋅2√3⋅2√6cos(∠P1PC)=12⇒∠P1PC=45∘. ∠VRC=30∘+45∘=75∘. △BPC – дан BC2=BP2+CP2−2BP⋅CPcos(75∘), яғни BC2=4+24−2⋅2⋅2√6⋅(√3−1)/(2√2)=4√3+16. AB=BC=√4√3+16.
S△ABC=1/2⋅AB⋅BC⋅sin(120∘).
S△ABC=1/2(√4√3+16)2⋅√3/2=4√3+3.
Жауабы: 4√3+3.
Альтернативное решение:
Если cos∠APB=x,cos∠BPC=y тогда получается система:
{16−8√3x=28−8√6y36−8√18(xy−√(1−x2)(1−y2)=3(16−8√3x)
{y=2√2x+√6436−8√18(xy−√(1−x2)(1−y2)=3(16−8√3x)
Подставляя во второе и преобразовывая
2(√3x−2)(4x2−1)=0
Подходит только x=−12 тогда y=√3−12√2
sin∠APB=√32, sin∠BPC=√2+√32
Откуда S=4√3+3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.