Районная олимпиада, 2021-2022 учебный год, 11 класс

Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB =BC$) выбрана точка $P$. Известно, что $\angle BAC = 30^\circ$, $AP = 2\sqrt{3}$, $BP = 2$, $CP = 2\sqrt{6}$. Найти площадь треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

Шешуі: Нүктесінен айналдыра $120^\circ$ қа бұруды қарастырайық. Бұл бұруда $A$ нүктесі $C$ нүктесіне, ал $P$ нүктесі $P_1$ нүктесіне және $AP$ кесіндісі $CP_1$ кесіндісіне көшеді. $VRR_1$ үшбұрышы тең бүйірлі болғандықтан $VR = VR_1 = 2$, $CR_1 = 2\sqrt{3}$, $RC = 2\sqrt{6}$. $\triangle VRR_1$ – дан $RR_1^2 = VR^2 + VR_1^2 - 2VR \cdot VR_1 \cos(\angle PBP_1)$.

$\angle PBP_1 = 120^\circ$, $PR_1^2 = 4 + 4 - 8(-1/2) = 12$. $PP_1 = 2\sqrt{3}$. $\triangle PRR_1$ – дан $PR_1C^2 = PR_1^2 + PC^2 - 2PP_1 \cdot PC \cos(\angle P_1PC)$, яғни $12 + 24 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} \cos(\angle P_1PC) = 12 \Rightarrow \angle P_1PC = 45^\circ$. $\angle VRC = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$. $\triangle BPC$ – дан $BC^2 = BP^2 + CP^2 - 2BP \cdot CP \cos(75^\circ)$, яғни $BC^2 = 4 + 24 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} - 1)/(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{3} + 16$. $AB = BC = \sqrt{4\sqrt{3} + 16}$.

$S_{\triangle ABC} = 1/2 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ)$.

$S_{\triangle ABC} = 1/2 (\sqrt{4\sqrt{3} + 16})^2 \cdot \sqrt{3}/2 = 4\sqrt{3} + 3$.

Жауабы: $4\sqrt{3} + 3$.

Альтернативное решение:

Если $\cos \angle APB=x, \cos \angle BPC = y $ тогда получается система:

$\left\{ \begin{gathered} 16-8 \sqrt{3} x = 28-8 \sqrt{6} y\\ 36-8 \sqrt{18}(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2}) = 3(16-8\sqrt{3}x)\\ \end{gathered} \right.$

$\left\{ \begin{gathered} y=\dfrac{2\sqrt{2}x+\sqrt{6}}{4} \\ 36-8 \sqrt{18}(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2}) = 3(16-8\sqrt{3}x)\\ \end{gathered} \right.$

Подставляя во второе и преобразовывая

$ 2(\sqrt{3}x-2)(4x^2-1)=0$

Подходит только $x=-\dfrac{1}{2}$ тогда $y=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

$\sin \angle APB = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ \sin \angle BPC = \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}}$

Откуда $S = 4\sqrt{3}+3$