Районная олимпиада, 2021-2022 учебный год, 11 класс

Найдите все такие многочлены $P(x)$ с целыми коэффициентами, которые при любых $x \in \mathbb{R}$ удовлетворяют равенству $16 P(x^2) = \left(P(2x)\right)^2.$

Комментарий/решение

Посмотрим как себя будет вести старший коэффициент, пусть это будет $a_{n}x^n$. Слева этот чел будет: $16*a_{n}*x^{2n}$ что равно правому $=4^n*x^{2n}*{a_{n}}^2.$ Из этого следует что $16=a_{n}*4^n$ $n=0,1,2.$

Подставим $0$ и получаем что константа равна $16.$

$n=0 \rightarrow P(x)=16$

$n=1 \rightarrow P(x)=4x+16$, подставив под искомое уравнение получаем что $x$ тождественно $0$, невозможно.

$n=2$ $a_{2}=1$ подставим $x=1$, выводим что $a_{2}$ не целое.

Ответ: $\boxed{P(x)=16}$