Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 11 сынып

$a_n$ тізбегі барлық натурал $n$ үшін келесі формуламен берілген $${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ тоғыздық}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ тоғыздық}}}^2}} .$$ $\big\{S\big\}$ санын есептеңіз, бұл жердегі $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$.
  Мұнда $\{x\}$ — $x$ санының бөлшек бөлігін білдіреді. Мысалы, $\{5,64\ = 5,64 - 5 = 0,64$.

Комментарий/решение

Перезапишем $n$ девяток в квадрате как: $(10^n-1)^2$, а дробные девятки в квадрате как $(\frac{(10^n-1)}{10^n})^2$. Раскроем квадраты и добавим однерку и получим: $(10^n-1+\frac{1}{10^n})^2.$ Уберём квадрат ибо выражение в корне, и в итоге получится ответ: $0.1+0.01+…$, или же $0.11…1$ где $2022$ единиц в конце.