Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Келесі шарт орындалатындай

$a_1, a_2, \dots ,a_{20}$ нақты сандары берілген:

$|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|= \dots =19|a_{19}-a_{20}|=20|a_{20}-a_1|.$

$a_1=a_2= \dots =a_{20}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Егер екі координата да бүтін сан болса, тікбұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі нүктені жазықтықтағы тордың түйіні деп айтамыз. Осы жазықтықта ішінде дәл 2011 тор түйіні жататындай шеңбер табыла ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. а)

$ABC$ үшбұрышында

$C$ бұрышы сүйір бұрыш. Теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$(BC^2 + AC^2 )\cdot \cos(\angle A-\angle B)\leq 2\cdot BC\cdot AC.$
б) Осы теңсіздік орындалмайтындай

$ABC$ үшбұрышы табыла ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 42 адамнан тұратын топта әрбірі осы топтағы кем дегенде 36 адаммен таныс. Осы топта барлығы бір-бірін танитындай 7 адамнан тұратын топ табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Әрбір натурал

$n\geq 2$ сандары үшін теңдеулер жүйесінің барлық нақты шешімдерін табыңыздар:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1|x_1| & = & x_2|x_2|+(x_1-1)|x_1-1|, \\ x_2|x_2| & = & x_3|x_3|+(x_2-1)|x_2-1|, \\ & \dots & \\ x_n|x_n| & = & x_1|x_1|+(x_n-1)|x_n-1|. \\ \end{array} \right.$
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$k$ бүтін санын таза деп айтамыз, егер

$c_0$ ,

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$\dots$ сандар жиынының ешбірінде кездеспесе, мұндағы

$0 < c_0 < k$ және әрбір

$i > 0$ үшін келесі қатынас орындалады:

$c_i= \left\{ \begin{array}{rcl} c_{i-1}/2, \text{ если } c_{i-1} \text{ жұп болса}, \cr 3c_{i-1}-1, \text{ если } c_{i-1} \text{ тақ болса}. \cr \end{array} \right.$ Мысалға 10 саны таза емес, себебі шартты қанағаттандыратын 5, 14, 7, 20, 10, тізбегінде кездееді.
а) Әрбір 3-ке бөлінетін натурал сандар таза бола ма?
б) Егер

$k > 1$ саны таза болса, бірақ 3-ке бөлінбесе, онда

$k+1$ саны 6-ға бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение