қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Келесі шарт орындалатындай $a_1, a_2, \dots ,a_{20}$ нақты сандары берілген: $$
|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|= \dots =19|a_{19}-a_{20}|=20|a_{20}-a_1|.
$$
$a_1=a_2= \dots =a_{20}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Егер екі координата да бүтін сан болса, тікбұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі нүктені жазықтықтағы тордың түйіні деп айтамыз. Осы жазықтықта ішінде дәл 2011 тор түйіні жататындай шеңбер табыла ма?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. а) $ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы сүйір бұрыш. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$
(BC^2 + AC^2 )\cdot \cos(\angle A-\angle B)\leq 2\cdot BC\cdot AC.
$$
б) Осы теңсіздік орындалмайтындай $ABC$ үшбұрышы табыла ма?
комментарий/решение(1)
б) Осы теңсіздік орындалмайтындай $ABC$ үшбұрышы табыла ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №4. 42 адамнан тұратын топта әрбірі осы топтағы кем дегенде 36 адаммен таныс. Осы топта барлығы бір-бірін танитындай 7 адамнан тұратын топ табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Әрбір натурал $n\geq 2$ сандары үшін теңдеулер жүйесінің барлық нақты шешімдерін табыңыздар:
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_1|x_1| & = & x_2|x_2|+(x_1-1)|x_1-1|, \\
x_2|x_2| & = & x_3|x_3|+(x_2-1)|x_2-1|, \\
& \dots & \\
x_n|x_n| & = & x_1|x_1|+(x_n-1)|x_n-1|. \\
\end{array}
\right.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $k$ бүтін санын таза деп айтамыз, егер $c_0$, $c_1$, $c_2$, $\dots$ сандар жиынының ешбірінде кездеспесе, мұндағы $0 < c_0 < k$ және әрбір $i > 0$ үшін келесі қатынас орындалады:
$$
c_i=
\left\{
\begin{array}{rcl}
c_{i-1}/2, \text{ если } c_{i-1} \text{ жұп болса}, \cr
3c_{i-1}-1, \text{ если } c_{i-1} \text{ тақ болса}. \cr
\end{array}
\right.
$$
Мысалға 10 саны таза емес, себебі шартты қанағаттандыратын 5, 14, 7, 20, 10, тізбегінде кездееді.
а) Әрбір 3-ке бөлінетін натурал сандар таза бола ма?
б) Егер $k > 1$ саны таза болса, бірақ 3-ке бөлінбесе, онда $k+1$ саны 6-ға бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
а) Әрбір 3-ке бөлінетін натурал сандар таза бола ма?
б) Егер $k > 1$ саны таза болса, бірақ 3-ке бөлінбесе, онда $k+1$ саны 6-ға бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение