Областная олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Назовем положительное целое число $k$ $\textit{чистым}$, если оно не содержится ни в какой последовательности целых чисел $c_0$, $c_1$, $c_2$, $\dots$, где $ 0 < c_0 < k$ и при каждом $i>0$ выполняется соотношение $$ c_i= \left\{ \begin{array}{rcl} c_{i-1}/2, \text{ если } c_{i-1} \text{ четно}, \cr 3c_{i-1}-1, \text{ если } c_{i-1} \text{ нечетно}. \cr \end{array} \right. $$ Например, число 10 не является чистым, так как оно содержится в последовательности 5, 14, 7, 20, 10, удовлетворяющей этим условиям.
а) Является ли каждое делящееся на 3 положительное целое число чистым?
б) Докажите, что если целое число $k>1$ чистое, но не делится на 3, то число $k+1$ делится на 6.