Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып

$k$ бүтін санын таза деп айтамыз, егер $c_0$, $c_1$, $c_2$, $\dots$ сандар жиынының ешбірінде кездеспесе, мұндағы $0 < c_0 < k$ және әрбір $i > 0$ үшін келесі қатынас орындалады: $$ c_i= \left\{ \begin{array}{rcl} c_{i-1}/2, \text{ если } c_{i-1} \text{ жұп болса}, \cr 3c_{i-1}-1, \text{ если } c_{i-1} \text{ тақ болса}. \cr \end{array} \right. $$ Мысалға 10 саны таза емес, себебі шартты қанағаттандыратын 5, 14, 7, 20, 10, тізбегінде кездееді.
а) Әрбір 3-ке бөлінетін натурал сандар таза бола ма?
б) Егер $k > 1$ саны таза болса, бірақ 3-ке бөлінбесе, онда $k+1$ саны 6-ға бөлінетінін дәлелдеңіздер.