Областная олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Вещественные числа

$a_1, a_2, \dots ,a_{20}$ таковы, что

$|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|= \dots =19|a_{19}-a_{20}|=20|a_{20}-a_1|.$ Докажите, что

$a_1=a_2= \dots =a_{20}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Назовем точку на декартовой прямоугольной координатной плоскости узлом сетки, если обе ее координаты — целые числа. Существует ли такой круг на этой плоскости, строго внутри которого расположено ровно 2011 узлов сетки?
комментарий/решение(2)

Задача №3. а) В треугольнике

$ABC$ угол

$C$ — острый. Докажите неравенство:

$(BC^2 + AC^2 )\cdot \cos(\angle A-\angle B)\leq 2\cdot BC\cdot AC.$ б) Найдется ли треугольник

$ABC$ , для которого это неравенство не выполняется?
комментарий/решение(1)

Задача №4. В группе из 42 человек каждый знаком, по крайней мере, с 36 людьми из группы. Докажите, что в этой группе найдется компания из 7 человек, в которой все знают друг друга.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Для каждого натурального

$n\geq 2$ найдите вес вещественные решения системы:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1|x_1| & = & x_2|x_2|+(x_1-1)|x_1-1|, \\ x_2|x_2| & = & x_3|x_3|+(x_2-1)|x_2-1|, \\ & \dots & \\ x_n|x_n| & = & x_1|x_1|+(x_n-1)|x_n-1|. \\ \end{array} \right.$
комментарий/решение(2)

Задача №6. Назовем положительное целое число

$k$

$\textit{чистым}$ , если оно не содержится ни в какой последовательности целых чисел

$c_0$ ,

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$\dots$ , где

$0 < c_0 < k$ и при каждом

$i>0$ выполняется соотношение

$c_i= \left\{ \begin{array}{rcl} c_{i-1}/2, \text{ если } c_{i-1} \text{ четно}, \cr 3c_{i-1}-1, \text{ если } c_{i-1} \text{ нечетно}. \cr \end{array} \right.$ Например, число 10 не является чистым, так как оно содержится в последовательности 5, 14, 7, 20, 10, удовлетворяющей этим условиям.
а) Является ли каждое делящееся на 3 положительное целое число чистым?
б) Докажите, что если целое число

$k>1$ чистое, но не делится на 3, то число

$k+1$ делится на 6.
комментарий/решение