Областная олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Назовем точку на декартовой прямоугольной координатной плоскости узлом сетки, если обе ее координаты — целые числа. Существует ли такой круг на этой плоскости, строго внутри которого расположено ровно 2011 узлов сетки?

Комментарий/решение

Ответ: не существует

Решение . Пусть окружность имеет центр в узле сетки. Тогда останется 2010 узлов. Но 2010 не делится на 4, потому по крайней мере 2 из точек выйдут из круга. А если окружность имеет центр не в узле сетки, то такой окружности нет тоже, так как 2011 не делится на 4

А как быть в случае, когда центр окружности лежит не в узле? На самом деле есть такой факт: для любого $n$ существует окружность, внутри которой лежит ровно $n$ узлов сетки (целочисленных точек).