Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып

Егер екі координата да бүтін сан болса, тікбұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі нүктені жазықтықтағы тордың түйіні деп айтамыз. Осы жазықтықта ішінде дәл 2011 тор түйіні жататындай шеңбер табыла ма?

Комментарий/решение

Ответ: не существует

Решение . Пусть окружность имеет центр в узле сетки. Тогда останется 2010 узлов. Но 2010 не делится на 4, потому по крайней мере 2 из точек выйдут из круга. А если окружность имеет центр не в узле сетки, то такой окружности нет тоже, так как 2011 не делится на 4

А как быть в случае, когда центр окружности лежит не в узле? На самом деле есть такой факт: для любого $n$ существует окружность, внутри которой лежит ровно $n$ узлов сетки (целочисленных точек).