Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Екi үйiндi тастар бар: бiрiншiсiнде — 2012 монеталар, екiншiсiнде — 2021 монеталар бар. Арман мен Бақытжан келесi ойын ойнайды. Бiр жүрiсте ойыншы кез-келген үйiндiден 2, 3 немесе 4 монеталар алады, содан кейiн екiншi үйiндiге 1 монета қосады. Жүрiс жасай алмайтын ойыншы ұтылады. Арман мен Бақытжан кезектесiп жүредi. Арман ойынды бастайды. Ойынды дұрыс ойнағанда кiм жеңедi?
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Гипотенузасы

$AB$ болатындай

$ABC$ тiкбұрышты үшбұрышы берiлсiн.

$AB$ гипотенузасының ортасы болатын

$D$ нүктесiнен өтетiн түзу

$AC$ және

$BC$ түзулерiн сәйкесiнше

$P$ және

$Q$ нүктелерiнде қиып өтедi.

$M$ нүктесi

$PQ$ кесiндiсiнiң ортасы болсын.

$M$ нүктесiне қатысты

$D$ нүктесiне симметриялы

$R$ нүктесiнен

$AB$ гипотенузасына

$RF$ перпендикуляры жүргiзiлген.

$CM$ түзуi

$FCD$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(7)

Есеп №3.

$125 \cdot 2^x-3^y=271$ теңдеуiн қанағаттандыратындай барлық

$(x,y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

$20a^2 +21b^2 = 20a +21b.$ болатындай

$a,$

$b,$

$c$ бүтiн сандар болсын.

$A = \sqrt {\frac{a}{{b(20a + 21)}}} + \sqrt {\frac{b}{{a(20 + 21b)}}}$ өрнегiнiң ең кiшi мәнiн табыңыз.
комментарий/решение(12)

Есеп №5. Коэффициенттері бүтін болатын

$P(x)$ көпмүшесі үшін

$P(1) = 17,$

$P (m) = m^2 + n^2 -mn,$

$P(n) = mn +1$ теңдіктері орындалады, бұл жерде

$m,$

$n$ — бүтiн сандар. Барлық

$(m,n)$ бүтін жұптарының табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жазықтықта

$ABCD$ төртбұрышы салынған.

$X$ нүктесiнен

$ABCD$ төртбұрышының осы нүктеге дейiн ең қашық төбесiне дейiнгi қашықтықтың квадраты

$\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}$ санынан аспайтындай осы жазықтықта

$X$ нүктесi табылатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(4)