Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс
Комментарий/решение:
По неравенству Гёльдера для 3 скобок получаем, что A^2*(a^2*b(20a+21)+b^2*a(20+21b))>=(a+b)^3, ===> A^2>=(a+b)^3/(ab(20a^2+21b^2+21a+20b))=(a+b)^3/(ab*(20a+21b+21a+20b))=(a+b)^3/((ab*41(a+b))=(a+b)^2/(41ab).
По неравенству Коши имеем, что (a+b)^2>=4ab, ===> A^2>=(a+b)^2/(41ab)>=4ab/41ab=4/41, ===> A=>sqrt(4/41).
Пример: как легко проверить, числа a=b=1 удовлетворяют условие, причем A=sqrt(4/41)
$\LaTeX$ версия вашего поста:
По неравенству Гёльдера для 3 скобок получаем, что
$$A^2\cdot\bigg(a^2\cdot b(20a+21)+b^2\cdot a(20+21b)\bigg)\ge (a+b)^3,$$
$$A^2\ge\dfrac{ (a+b)^3 } { ab(20a^2+21b^2+21a+20b)} =\dfrac{(a+b)^3}{ab\cdot (20a+21b+21a+20b)}$$
$$=\dfrac{(a+b)^3}{ab\cdot 41(a+b)}=\dfrac{(a+b)^2}{41ab}.$$
По неравенству Коши имеем, что
$$(a+b)^2\ge 4ab\implies A^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{41ab}\ge \dfrac{4ab}{41ab}=\dfrac{4}{41}\implies A\ge \sqrt{\dfrac{4}{41}}$$
Пример: как легко проверить, числа $a=b=1$ удовлетворяют условие, причем $A=\sqrt{\dfrac{4}{41}}$
По Коши-Б
$$(20a^2+21b^2)(20+21) \ge (20a + 21b)^2,$$
по условию $20 a^2 + 21 b^2 = 20 a + 21 b$, следовательно
$$41\ge 20a + 21b.$$
Заметим, что
$$41=\frac{(20a+21)+(20+21b)}{2} \ge \sqrt{(20a+21)(20+21b)}.$$
По Коши
$$\sqrt{\frac{a}{b(20a+21)}} + \sqrt{\frac{b}{a(20+21b)}} \ge \frac{2}{\sqrt[4]{(20+21b)(20a+21)}},$$
а из предыдущего неравнства
$$\frac{2}{\sqrt[4]{(20+21b)(20a+21)}} \ge \frac{2}{\sqrt{41}}.$$
Равенство достигается при $a=b=1$.
$20a^2+21b^2=20a+21b$
$20a^2-20a+21b^2-21b=0$
$20(a^2-a)+21(b^2-b)=0$
Поскольку $a$ и $b$ положительные то $\Rightarrow$ $a^2-a=0$, $ $ $b^2-b=0$
$a(a-1)=0$
$b(b-1)=0$ Есть два варианта
$1)a=b=1$
Ответ $2*\frac{1}{\sqrt{41}}$
$2)a=b=0$ это не возможно поскольку $a,b$ положительные числа $a,b>0$
$A=\frac{2}{\sqrt{41}}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.