Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Пусть $a,$ $b,$ $c$ — положительные целые числа такие, что $20a^2 +21b^2 = 20a +21b.$ Найдите наименьшее значение выражения $$A = \sqrt {\frac{a}{{b(20a + 21)}}} + \sqrt {\frac{b}{{a(20 + 21b)}}} .$$

Комментарий/решение

По неравенству Гёльдера для 3 скобок получаем, что A^2*(a^2*b(20a+21)+b^2*a(20+21b))>=(a+b)^3, ===> A^2>=(a+b)^3/(ab(20a^2+21b^2+21a+20b))=(a+b)^3/(ab*(20a+21b+21a+20b))=(a+b)^3/((ab*41(a+b))=(a+b)^2/(41ab).

По неравенству Коши имеем, что (a+b)^2>=4ab, ===> A^2>=(a+b)^2/(41ab)>=4ab/41ab=4/41, ===> A=>sqrt(4/41).

Пример: как легко проверить, числа a=b=1 удовлетворяют условие, причем A=sqrt(4/41)

$\LaTeX$ версия вашего поста:

По неравенству Гёльдера для 3 скобок получаем, что

$$A^2\cdot\bigg(a^2\cdot b(20a+21)+b^2\cdot a(20+21b)\bigg)\ge (a+b)^3,$$

$$A^2\ge\dfrac{ (a+b)^3 } { ab(20a^2+21b^2+21a+20b)} =\dfrac{(a+b)^3}{ab\cdot (20a+21b+21a+20b)}$$

$$=\dfrac{(a+b)^3}{ab\cdot 41(a+b)}=\dfrac{(a+b)^2}{41ab}.$$

По неравенству Коши имеем, что

$$(a+b)^2\ge 4ab\implies A^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{41ab}\ge \dfrac{4ab}{41ab}=\dfrac{4}{41}\implies A\ge \sqrt{\dfrac{4}{41}}$$

Пример: как легко проверить, числа $a=b=1$ удовлетворяют условие, причем $A=\sqrt{\dfrac{4}{41}}$

Благодарю

no needs for Gelder

если целое и положительное, то равносильно что a>=1 (не включая 0) что и есть a^2=>a

so 20a+21b=20a^2+21b^2 только тогда когда a=b=1

ответ 2sqrt1/41

Там опечатка в условии, a и b относятся к действительным числам

ну опечатка и опечатка, что бубнить то ;))

шучу, согласен, задача пропадает.

По Коши-Б

$$(20a^2+21b^2)(20+21) \ge (20a + 21b)^2,$$

по условию $20 a^2 + 21 b^2 = 20 a + 21 b$, следовательно

$$41\ge 20a + 21b.$$

Заметим, что

$$41=\frac{(20a+21)+(20+21b)}{2} \ge \sqrt{(20a+21)(20+21b)}.$$

По Коши

$$\sqrt{\frac{a}{b(20a+21)}} + \sqrt{\frac{b}{a(20+21b)}} \ge \frac{2}{\sqrt[4]{(20+21b)(20a+21)}},$$

а из предыдущего неравнства

$$\frac{2}{\sqrt[4]{(20+21b)(20a+21)}} \ge \frac{2}{\sqrt{41}}.$$

Равенство достигается при $a=b=1$.

[(sqrt(20)*a)^2+(sqrt(21)*b)^2]*

*[ (sqrt(20))^2+(sqrt(21))^2]》

(20*a+21*b)^2=>(20*a²+21*b²)*41》(20*a+21*b)² из этого выходит что 20*a+21*b《 41 a,b натуралные числы,тогда a=1 и b=1

По неравенству Коши A》2*sqrt(1/41)

$a$ и $b$ не натуральные, просто действительные положительные числа

$20a^2+21b^2=20a+21b$

$20a^2-20a+21b^2-21b=0$

$20(a^2-a)+21(b^2-b)=0$

Поскольку $a$ и $b$ положительные то $\Rightarrow$ $a^2-a=0$, $b^2-b=0$

$a(a-1)=0$

$b(b-1)=0$ Есть два варианта

$1)a=b=1$

Ответ $2*\frac{1}{\sqrt{41}}$

$2)a=b=0$ это не возможно поскольку $a,b$ положительные числа $a,b>0$

$A=\frac{2}{\sqrt{41}}$

бро, то что они положительные тебе не даёт что $a^2 -a=0$, тебе стоит упомянуть так же что они и целые. тем более такое решение было уже написано