Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Имеются две кучки камней: в первой 2012 монет, во второй — 2021 монета. Арман и Бахытжан играют в такую игру. За один ход игрок из любой кучки берёт 2, 3 или 4 монеты, а затем добавляет 1 монету во вторую кучку. Проигрывает тот игрок, который не может сделать ход. Арман и Бахытжан ходят по очереди. Начинает Арман. Кто выигрывает при правильной игре?
комментарий/решение(4)

Задача №2. Дан прямоугольный треугольник

$ABC$ с гипотенузой

$AB.$ Прямая, проходящая через точку

$D,$ середину гипотенузы

$AB,$ пересекает прямые

$AC$ и

$BC$ соответственно в точках

$P$ и

$Q.$ Пусть

$M$ — середина отрезка

$PQ.$ Из точки

$R,$ симметричной точке

$D$ относительно точки

$M,$ проведён перпендикуляр

$RF$ на гипотенузу

$AB.$ Докажите, что

$CM$ является биссектрисой угла

$FCD.$
комментарий/решение(7)

Задача №3. Найти все пары

$(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению

$125 \cdot 2^x-3^y=271.$
комментарий/решение(4)

Задача №4. Пусть

$a,$

$b,$

$c$ — положительные целые числа такие, что

$20a^2 +21b^2 = 20a +21b.$ Найдите наименьшее значение выражения

$A = \sqrt {\frac{a}{{b(20a + 21)}}} + \sqrt {\frac{b}{{a(20 + 21b)}}} .$
комментарий/решение(12)

Задача №5. Многочлен

$P(x)$ с целыми коэффициентами таков, что

$P(1) = 17,$

$P(m) = m^2 + n^2 -mn,$

$P(n) = mn +1,$ где

$m,$

$n$ — целые числа. Найти все возможные такие пары целых чисел

$(m,n).$
комментарий/решение(1)

Задача №6. На плоскости нарисован четырёхугольник

$ABCD.$ Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка

$X,$ что квадрат расстояния от точки

$X,$ до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника

$ABCD,$ не превосходит

$\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}.$
комментарий/решение(4)