Processing math: 90%

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 9 сынып


Жазықтықта ABCD төртбұрышы салынған. X нүктесiнен ABCD төртбұрышының осы нүктеге дейiн ең қашық төбесiне дейiнгi қашықтықтың квадраты XA2+XB2+XC2+XD22 санынан аспайтындай осы жазықтықта X нүктесi табылатынын дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 1 месяца назад #

Докажем, что Y, точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям AC и BD, подходит. Раз уж это серединные перпендикуляры, то AY=CY, BY=DY. Следовательно,

AY2+BY2+CY2+DY22=AY2+BY2>max

  3
4 года 1 месяца назад #

Задача №6. На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2

Шешуі: 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.

2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2

3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√3а)2≥ 4а2

  3
4 года 1 месяца назад #

Задача №6. На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2

Шешуі: 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.

2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2

3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√(3))а2≥ 4а2

  3
4 года 1 месяца назад #

На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2

Шешуі: І тәсіл. 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.

2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2

3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√(3))а2≥ 4а2

Шешуі: ІІ тәсіл. ХА = ХВ = а , ХС = √2а және ХД = 2а болатындай кез – келген АВСД төртбұрышын саламыз. Сонда , (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+ 〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 = 〖4a〗^2

2) ХА > а , ХВ > √2а , ХС > √3а және 2а < ХД < √6а болатындай кез – келген АВСД төртбұрышын саламыз Бұдан, (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+ 〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 > 〖4a〗^2