Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Задача №6. На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2
Шешуі: 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.
2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2
3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√3а)2≥ 4а2
Задача №6. На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2
Шешуі: 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.
2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2
3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√(3))а2≥ 4а2
На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2
Шешуі: І тәсіл. 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.
2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2
3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√(3))а2≥ 4а2
Шешуі: ІІ тәсіл. ХА = ХВ = а , ХС = √2а және ХД = 2а болатындай кез – келген АВСД төртбұрышын саламыз. Сонда , (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+ 〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 = 〖4a〗^2
2) ХА > а , ХВ > √2а , ХС > √3а және 2а < ХД < √6а болатындай кез – келген АВСД төртбұрышын саламыз Бұдан, (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+ 〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 > 〖4a〗^2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.