Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

На плоскости нарисован четырёхугольник $ABCD.$ Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка $X,$ что квадрат расстояния от точки $X,$ до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника $ABCD,$ не превосходит $$\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}.$$

Комментарий/решение

Докажем, что $Y$, точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям $AC$ и $BD$, подходит. Раз уж это серединные перпендикуляры, то $AY=CY, ~ BY=DY$. Следовательно,

$$\frac{AY^2 +BY^2 +CY^2 +DY^2}{2} = AY^2 + BY^2 > \max{(AY^2, BY^2, CY^2, DY^2)}.~\square$$

Задача №6. На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2

Шешуі: 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.

2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2

3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√3а)2≥ 4а2

Задача №6. На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2

Шешуі: 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.

2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2

3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√(3))а2≥ 4а2

На плоскости нарисован четырехугольник АВСД . Докажите, что на этой плоскости найдется такая точка Х, что квадрат расстояния от точки Х, до самой удаленной от неё вершины треугольника АВСД, не превосходит (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2

Шешуі: І тәсіл. 1) ХА2 ≥ а2, ХВ 2 ≥ 2а2, ХС2 ≥ 3а2 және ХД2 ≥4а2 болсын.

2) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2)/2 ≥ ХА*ХВ ≥ √2а2 , (〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 ≥ ХС*ХД ≥ 2√3а2

3) (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+〖ХС〗^2+〖ХД〗^2)/2 ≥ ( √2 + 2√(3))а2≥ 4а2

Шешуі: ІІ тәсіл. ХА = ХВ = а , ХС = √2а және ХД = 2а болатындай кез – келген АВСД төртбұрышын саламыз. Сонда , (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+ 〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 = 〖4a〗^2

2) ХА > а , ХВ > √2а , ХС > √3а және 2а < ХД < √6а болатындай кез – келген АВСД төртбұрышын саламыз Бұдан, (〖ХА〗^2+ 〖ХВ〗^2+ 〖ХС〗^2+ 〖ХД〗^2)/2 > 〖4a〗^2