Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами таков, что $P(1) = 17,$ $P(m) = m^2 + n^2 -mn,$ $P(n) = mn +1,$ где $m,$ $n$ — целые числа. Найти все возможные такие пары целых чисел $(m,n).$

Комментарий/решение

Заметим, что $m-n\mid P(m)-P(n)=(m-n)^2-1\implies |m-n|=1.$ Б.О.О. пусть $m=n+1.$ Дальше просто рассмотрите делимости $m-1\mid P(m)-P(1)$ и $n-1\mid P(n)-P(1).$

там еще пары (m,n)=(0,-1) и (-1,0) будут

P(m)=1, P(n)=1

m-1=-1|P(m)-P(1)=1-17=-16

n-1=-2|P(n)-P(1)=1-17=-16