Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық

$n$ натурал сандарды табыңыздар:

$n$ санының қосындысы 108 болатын төрт әр түрлі натурал бөлгіштері бар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ оң нақты сандары үшін

$a+b+c=1$ орындалады.

$x_1x_2 \dots x_n=1$ орындалатындай кез келген

$x_1, x_2, \dots , x_n$ нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\left( {ax_1^2 + bx_1 + c} \right)\left( {ax_2^2 + bx_2 + c} \right) \dots \left( {ax_n^2 + bx_n + c} \right) \geq 1.$
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$ABCD$ трапециясына іштей сызылған

$\omega$ шеңберінің центрі

$I$ нүктесі болсын.

$AD$ және

$BC$ қабырғалары

$R$ нүктесінде қиылыссын.

$P$ және

$Q$ нүктелері

$\omega$ шеңберінің сәйкесінше

$AB$ және

$CD$ қабырғаларымен жанасу нүктелері болсын.

$P$ нүктесі арқылы өтетін және

$PR$ кесіндісіне перпендикуляр болатын түзу

$AI$ және

$BI$ түзулерін сәйкесінше

$A_0$ және

$B_0$ нүктелерінде қияды, ал

$Q$ нүктесі арқылы өтіп

$QR$ кесіндісіне перпендикуляр болатын түзу

$CI$ және

$DI$ түзулерін сәйкесінше

$C_0$ және

$D_0$ нүктелерінде қияды.

$A_0D_0=B_0C_0$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(10)

Есеп №4. Өрнектің мәнін есептеңіздер:

$\left[ {\sqrt {2010^2 + 1} + \sqrt {2010^2 + 2} + \dots + \sqrt {2010^2 + 4020} } \right],$ мұндағы

$[x]$ арқылы

$x$ санының бүтін бөлігін аламыз, яғни

$x$ –тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(8)

Есеп №5. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$O$ нүктесі болсын, ал

$A_0$ ,

$B_0$ және

$C_0$ нүктелері сәйкесінше

$BCO$ ,

$ACO$ және

$ABO$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері.

$AA_0$ ,

$BB_0$ және

$CC_0$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Қабырғалары әр түрлі түсті болатын

$n$ ыдыс бар (

$n > 2$ ): әрбір ыдыстың бір жағы көк түсті, ал екінші жағы қызыл түсті(реверси ойынындағыдай). Осы ыдыстардың дұрыс

$n$ -қабырғалы көпбұрыштардың төбелерінде орналасуын \emph{конфигурация} деп атаймыз. Бір жүрісте қатар тұрған үш ыдыс аударуға болады. Бастапқы мөлшерленген шекті жүріс санына байланысты ыдыстардың қанша түрлі конфигурациясын алуға болады? (екі конфигурация әр түрлі болады, егер олар кем дегенде бір төбедегі түсі әр түрлі болса.)
комментарий/решение