Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс


Пусть a, b, c — положительные действительные числа такие, что a+b+c=1. Докажите неравенство (ax21+bx1+c)(ax22+bx2+c)(ax2n+bxn+c)1 для любых положительных действительных чисел x1,x2,,xn, удовлетворяющих условию x1x2xn=1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0 | проверено модератором
8 года 4 месяца назад #

Пусть f(xi)=ax2i+bxi+c. Тогда f(1)=1. Логарифмиреум неравенство:

ln(ni=1f(xi))=ni=1ln(f(xi))0

Заметим, что функция ln(f(x)) в области (0;+) непрервыно возрастающая и вогнутая (в этом легко можно убедится посчитав первую и вторую производную). Тогда по неравенству Йенсена, имеем: ni=1ln(f(xi))nln(f(x1+x2++xnn)). Заметим, что x1+x2++xnnnx1x2xn=1. Тогда в силу возрастания функции, получим: ln(f(x1+x2++xnn))ln(f(1))=0. Из этих двух неравенств получаем требуемое.

  1
7 года 3 месяца назад #

В лоб неравенство Гёльдера.