Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс
Пусть a, b, c — положительные действительные числа такие, что a+b+c=1. Докажите неравенство
(ax21+bx1+c)(ax22+bx2+c)…(ax2n+bxn+c)≥1
для любых положительных действительных чисел x1,x2,…,xn, удовлетворяющих условию x1x2…xn=1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть f(xi)=ax2i+bxi+c. Тогда f(1)=1. Логарифмиреум неравенство:
ln(n∏i=1f(xi))=n∑i=1ln(f(xi))≥0
Заметим, что функция ln(f(x)) в области (0;+∞) непрервыно возрастающая и вогнутая (в этом легко можно убедится посчитав первую и вторую производную). Тогда по неравенству Йенсена, имеем: n∑i=1ln(f(xi))≥n⋅ln(f(x1+x2+…+xnn)). Заметим, что x1+x2+…+xnn≥n√x1x2…xn=1. Тогда в силу возрастания функции, получим: ln(f(x1+x2+…+xnn))≥ln(f(1))=0. Из этих двух неравенств получаем требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.