Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c=1$. Докажите неравенство $$ \left( {ax_1^2 + bx_1 + c} \right)\left( {ax_2^2 + bx_2 + c} \right) \dots \left( {ax_n^2 + bx_n + c} \right) \geq 1 $$ для любых положительных действительных чисел $x_1, x_2, \dots , x_n$, удовлетворяющих условию $x_1x_2 \dots x_n=1$.

Комментарий/решение

Пусть $f(x_{i})=ax_{i}^2+bx_{i}+c$. Тогда $f(1)=1$. Логарифмиреум неравенство:

$$\ln(\prod \limits_{i=1}^{n}{f(x_{i})}) = \sum \limits_{i=1}^{n}{\ln(f(x_{i}))} \geq 0$$

Заметим, что функция $\ln(f(x))$ в области $(0;+\infty)$ непрервыно возрастающая и вогнутая (в этом легко можно убедится посчитав первую и вторую производную). Тогда по неравенству Йенсена, имеем: $\sum \limits_{i=1}^{n}{\ln(f(x_{i}))} \geq n\cdot \ln\left(f \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}\right)\right)$. Заметим, что $\dfrac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}} = 1$. Тогда в силу возрастания функции, получим: $\ln\left(f \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}\right)\right) \geq \ln(f(1)) = 0$. Из этих двух неравенств получаем требуемое.

В лоб неравенство Гёльдера.