Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып


a, b, c оң нақты сандары үшін a+b+c=1 орындалады. x1x2xn=1 орындалатындай кез келген x1,x2,,xn нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер: (ax21+bx1+c)(ax22+bx2+c)(ax2n+bxn+c)1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1 | Модератормен тексерілді
8 года 7 месяца назад #

Пусть f(xi)=ax2i+bxi+c. Тогда f(1)=1. Логарифмиреум неравенство:

ln(ni=1f(xi))=ni=1ln(f(xi))0

Заметим, что функция ln(f(x)) в области (0;+) непрервыно возрастающая и вогнутая (в этом легко можно убедится посчитав первую и вторую производную). Тогда по неравенству Йенсена, имеем: ni=1ln(f(xi))nln(f(x1+x2++xnn)). Заметим, что x1+x2++xnnnx1x2xn=1. Тогда в силу возрастания функции, получим: ln(f(x1+x2++xnn))ln(f(1))=0. Из этих двух неравенств получаем требуемое.

  2
7 года 6 месяца назад #

В лоб неравенство Гёльдера.