Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Определите все натуральные числа $n$, удовлетворяющие условию: $n$ имеет ровно четыре различных натуральных делителя, сумма которых равна 108.

Комментарий/решение

Тогда $N=p_{1} \cdot p_{2}$, откуда всего делителей $1,p_{1},p_{2},p_{1}p_{2}$. По условию

$1+p_{1}+p_{2}+p_{1}p_{2}=108$, $(p_{1}+1)(p_{2}+1)=108$ откуда всего $(2,35);(3, 26);(5,17);(8,11)$. из них всего одно число $n=5 \cdot 17=85$.

второй случай , $N=p^3$ , его делители, $1,p,p^2,p^3$,сумма $\dfrac{p^4-1}{p-1}=108$,$p^4=108p-107$ , откуда очевидно единственное целое,решение только при $p=1$,но $p \neq 1$.

Откуда $N=85$