қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, III тур дистанционного этапа
Задача №1. Велосипедисты Андрей, Борис и Виктор одновременно, из одной точки и в одном направлении стартовали по кольцевой дороге. Каждый из них ехал с постоянной скоростью, причем у разных велосипедистов скорости были различными. Андрей впервые перегнал Бориса, проехав ровно четыре круга, а Виктора — проехав ровно пять кругов. Сколько кругов проехал Виктор к моменту, когда он впервые обогнал Бориса?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Графики функций $y = k_1x+b_1,$ $y = k_2x+b_2,$ $y = k_3x+b_3$ являются продолжениями сторон равностороннего треугольника. Докажите, что среди чисел $k_1,$ $k_2,$ $k_3$ есть такое, которое не меньше 1/2.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Может ли отношение суммарной длины береговой линии всех островов к их суммарной площади равняться: а) 5; б) 3,99?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L.$ Точка $M$ — середина стороны $CD.$ Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через $L,$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$ Оказалось, что угол $BLM$ — прямой. Найдите отношение $BK/KA.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Таня и Маша по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 1000, причем число 13 выписывать нельзя. Начинает Таня. Проигрывает та девочка, после хода которой на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 17. Кто из девочек выиграет при правильной игре, и как ей для этого надо играть?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)