5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 11-12 классы

Задача №1. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Прямая

$PQ$ — их общая касательная, причем точка

$P$ лежит на

$\omega_1$ , а точка

$Q$ — на

$\omega_2$ . Рассмотрим произвольную точку

$X$ на окружности

$\omega_1$ . Прямая

$AX$ вторично пересекает

$\omega_2$ в точке

$Y$ . Точка

$Y'$ на окружности

$\omega_2$ , отличная от точки

$Y$ , такова, что

$QY=QY'$ . Обозначим вторую точку пересечения прямой

$Y'B$ с окружностью

$\omega_1$ через

$X'$ . Докажите, что

$PX=PX'$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Прямая

$PQ$ — их общая касательная, причем точка

$P$ лежит на

$\omega_1$ , а точка

$Q$ — на

$\omega_2$ . Рассмотрим произвольную точку

$X$ на окружности

$\omega_1$ . Прямая

$AX$ вторично пересекает

$\omega_2$ в точке

$Y$ . Точка

$Y'$ на окружности

$\omega_2$ , отличная от точки

$Y$ , такова, что

$QY=QY'$ . Обозначим вторую точку пересечения прямой

$Y'B$ с окружностью

$\omega_1$ через

$X'$ . Докажите, что

$PX=PX'$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все натуральные числа

$n > 3$ такие, что существует выпуклый

$n$ -угольник, в котором каждая диагональ является серединным перпендикуляром по крайней мере к одной другой диагонали.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$ABCD$ — описанный четырехугольник, диагонали которого не перпендикулярны. Биссектрисы углов между диагоналями

$AC$ и

$BD$ пересекают отрезки

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ,

$DA$ в точках

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ соответственно. Докажите, что если четырехугольник

$KLMN$ вписанный, то и четырехугольник

$ABCD$ вписанный.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан вписанный четырехугольник

$ABCD$ . Окружность, проходящая через точки

$A$ и

$B$ , касается отрезка

$CD$ в точке

$E$ . Другая окружность, проходящая через точки

$C$ и

$D$ , касается отрезка

$AB$ в точке

$F$ . Отрезки

$AE$ и

$DF$ пересекаются в точке

$G$ , отрезки

$BE$ и

$CF$ пересекаются в точке

$H$ . Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников

$AGF$ ,

$BHF$ ,

$CHE$ ,

$DGE$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)