5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 11-12 классы

Задача №1. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая $PQ$ — их общая касательная, причем точка $P$ лежит на $\omega_1$, а точка $Q$ — на $\omega_2$. Рассмотрим произвольную точку $X$ на окружности $\omega_1$. Прямая $AX$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Y$. Точка $Y'$ на окружности $\omega_2$, отличная от точки $Y$, такова, что $QY=QY'$. Обозначим вторую точку пересечения прямой $Y'B$ с окружностью $\omega_1$ через $X'$. Докажите, что $PX=PX'$.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая $PQ$ — их общая касательная, причем точка $P$ лежит на $\omega_1$, а точка $Q$ — на $\omega_2$. Рассмотрим произвольную точку $X$ на окружности $\omega_1$. Прямая $AX$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Y$. Точка $Y'$ на окружности $\omega_2$, отличная от точки $Y$, такова, что $QY=QY'$. Обозначим вторую точку пересечения прямой $Y'B$ с окружностью $\omega_1$ через $X'$. Докажите, что $PX=PX'$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все натуральные числа $n > 3$ такие, что существует выпуклый $n$-угольник, в котором каждая диагональ является серединным перпендикуляром по крайней мере к одной другой диагонали.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть $ABCD$ — описанный четырехугольник, диагонали которого не перпендикулярны. Биссектрисы углов между диагоналями $AC$ и $BD$ пересекают отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Докажите, что если четырехугольник $KLMN$ вписанный, то и четырехугольник $ABCD$ вписанный.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, касается отрезка $CD$ в точке $E$. Другая окружность, проходящая через точки $C$ и $D$, касается отрезка $AB$ в точке $F$. Отрезки $AE$ и $DF$ пересекаются в точке $G$, отрезки $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников $AGF$, $BHF$, $CHE$, $DGE$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)