Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 11-12 классы


Пусть ABCD — описанный четырехугольник, диагонали которого не перпендикулярны. Биссектрисы углов между диагоналями AC и BD пересекают отрезки AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Докажите, что если четырехугольник KLMN вписанный, то и четырехугольник ABCD вписанный.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
3 года 1 месяца назад #

Докажем что KLMN это точки касания вписанной окружности со сторонами.

1) Пусть l1,l2 лучи с началом в точке O проведем биссектрису l внутреннего

угла, возьмем произвольную точку H на l1 проведем окружность ω с центром в O и R=OH пусть Iωl, тогда пусть Cl2 такая что CBI=IBA где A,D на l1,l2 такие что OCOD=OBOA=OH2 тогда ABCD описанный

Утверждение 1 : I центр вписанной окружности ABCD

Доказательство: Пусть FOIBC тогда так как BI биссектриса ABC тогда OIFI=OBBF но так как I так же биссектриса, значит OCOB=FCBF откуда из обоих получается OIFI=OCFC значит CI биссектриса BCD , но так как OH2=OI2=OBOA откуда треугольники AOI,BOI подобны, тогда OAI=OIB тогда OAI=OIB=90AOIOBC2 но так как OAD=OCB=1802AOIOBC то есть AI биссектриса OAD аналогично DI биссектриса ADO .

2) Пусть EACBD , опустим перпендикуляры из точки I на стороны AB,BC,CD,AD пусть их основания K,L,M,N соответственно .

Утверждение 2: вышеописанном построений KM,LN биссектрисы AEB,BEC соответственно.

Доказательство: CMDM=CEDE=BCAD но

CM=CL,DM=DN тогда нужно показать что ANDN=BLCL

Если J точка касания вписанной окружности в треугольник OBC со стороной BC по известному факту для точек вневписанной окружности и вписанной BJ=CL то есть при поворотной гомотетий с центром в O относительно l с k=OAOC точка JN поэтому BLCL=CJBJ=ANDN

аналогично что EK биссектриса AEB , для EL получается BLCL=BECE что тоже самое что DMCM=AKBK что верно так как это равносильно AEBE=CEDE то есть KLMN - вписанный значит и ABCD описанный.

Верно и обратное