5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 11-12 классы

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая $PQ$ — их общая касательная, причем точка $P$ лежит на $\omega_1$, а точка $Q$ — на $\omega_2$. Рассмотрим произвольную точку $X$ на окружности $\omega_1$. Прямая $AX$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Y$. Точка $Y'$ на окружности $\omega_2$, отличная от точки $Y$, такова, что $QY=QY'$. Обозначим вторую точку пересечения прямой $Y'B$ с окружностью $\omega_1$ через $X'$. Докажите, что $PX=PX'$.

Комментарий/решение

$AY\cap PQ=M$

$\angle AQ{Y}'=\angle AB{X}'=\angle AP{X}'$

$\angle YAQ=\angle QA{Y}'=\angle {Y}'QP$.

$\angle QAY+ \angle YMQ= \angle AQ{Y}'+{Y}'QP$. Значит $\angle AMQ=\angle AQ{Y}'=\angle AB{X}'=\angle AP{X}'$.

$\angle A{X}'P= \angle APQ$. Получаем треугольники $AMP$ и $AP{X}'$ подобные по двум углам. Значит $\angle X{X}'P=\angle YAP=\angle PA{X}'=\angle PX{X}'$ Значит $PX=P{X}'$ ч.т.д.