5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 11-12 классы

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая $PQ$ — их общая касательная, причем точка $P$ лежит на $\omega_1$, а точка $Q$ — на $\omega_2$. Рассмотрим произвольную точку $X$ на окружности $\omega_1$. Прямая $AX$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Y$. Точка $Y'$ на окружности $\omega_2$, отличная от точки $Y$, такова, что $QY=QY'$. Обозначим вторую точку пересечения прямой $Y'B$ с окружностью $\omega_1$ через $X'$. Докажите, что $PX=PX'$.

Комментарий/решение

Здесь вообще должна быть эта задача:

$"$Угол $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $45◦$.Точки $O$ и $H$ — центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC$ соответственно. Точка $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $B$. Обозначим через $X$ середину дуги $AH$ описанной окружности треугольника $ADH$, содержащей точку $D$. Докажите, что $DX = DO$.$"$