Processing math: 90%

5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 11-12 классы


Дан вписанный четырехугольник ABCD. Окружность, проходящая через точки A и B, касается отрезка CD в точке E. Другая окружность, проходящая через точки C и D, касается отрезка AB в точке F. Отрезки AE и DF пересекаются в точке G, отрезки BE и CF пересекаются в точке H. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников AGF, BHF, CHE, DGE лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
3 года 1 месяца назад #

Рассмотрим для начала следующую задачу:

1) Пусть l1,l2 две пересекающие прямые в точке M, пусть по одну сторону на l1,l2 взяты соответственно точки F,E так что MF=ME , так же пусть на этих же прямых соответственно взяты произвольно точки A,D , пусть на l1 взято точка B что DF||BE аналогично AE||CF, проведем биссектрису l угла FME отразим симметрично l точки AA, BB тогда MF2=ME2=MAMB=MDMC то есть ABCD вписанный и MBE=MEA и MCF=MFD значит ME,MF касательные соответственно к описанным окружностям DFC,ABE получаем нужную конструкцию к условию задачи.

Пусть J,I,K,L центры вписанных окружностей DGE,AGF,FBH,EHC соответственно, пусть LTEC и JT||CE то есть JLT прямоугольный треугольник , аналогично INK для FB.

Лемма: Треугольники JKT,INK подобны.

Доказательство: покажем что JTIN=LTKN

По построению EG=EH (1) и FG=FH (2) и FEA=FEB=a, DFC=CFE=c и AEM=b

Из (1) получаем RDGEREHC=tg(a+b2)+ctg(a+c2)ctg(a+c2)+ctg(b2) (3)

из (2) получаем RAGFRFBH=tg(a+b+c2)+ctg(a+c2)ctg(a+bc2)+ctg(a+c2) (4)

EX,EY отрезки касательных к DGE,EHC и FZ,FW для AFG,BFH тогда JT=EX+EY аналогично IN=FZ+FW

EX=ctg(b2)RDGE,  EY=tg(a+b2)REHC, 

FZ=ctg(a+bc2)RAGF,  FW=tg(a+b+c2)RFBH

тогда учитывая (3), (4)

JTIN=REHCRFBHtg(a+b2)ctg(a+b+c2)

С другой стороны LTKN=REHCRDGERFBHRAGF

аналогично учитывая (3),(4) LTKN=REHCRFBHtg(a+b2)ctg(a+b+c2)

ч.т.д

2) Пусть I,K симметричные относительно l точки, тогда IIKK вписанный (равнобедренная трапеция) отметим что JII=KKL=x следует из того что II || KK||FE тогда из леммы получается что I'K" || JL тогда пусть \angle I'IK = y и Q \in JL \cap KK' тогда \angle I'K'K = \angle JQK = 180-y откуда \angle KQL = y так же \angle JLK = 180-x-y но \angle JIK = x+y откуда JIKL вписанный.

  0
1 года 4 месяца назад #

Это частный случай теоремы Гардена