Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Задана последовательность чисел

$d_1,$

$d_2,$

$\ldots,$

$d_n$ такая, что

$|d_i| \le 1$ для любого

$i = 1,2,\ldots,n.$ Докажите, что можно выбрать последовательность

$s_1,$

$s_2,$

$\ldots,$

$s_n$ чисел из

$+1$ и

$-1$ так, что для всех

$i = 1,2, \ldots,n$ выполнится

$|s_1d_1+s_2d_2+\ldots + s_id_i |\le 1.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть

$M$ — точка пересечения медиан остроугольного треугольника

$ABC$ . Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники

$AMB,$

$BMC,$

$CMA,$ равны, то треугольник

$ABC$ — правильный.
комментарий/решение(5)

Задача №3. Множество

$A$ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший — 100. Каждый элемент

$A,$ кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел из

$A.$ Укажите среди всех множеств

$A,$ удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов.
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что число

$(1 + \sqrt 2)^{2018}$ представляется в виде

$a + b \sqrt 2,$ где

$a$ и

$b$ — взаимно простые целые числа.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Площадь любого треугольника, вершины которых лежат на сторонах данного выпуклого многоугольника, меньше 1. Докажите, что этот многоугольник лежит внутри некоторого треугольника площади 4.
комментарий/решение(1)

Задача №6. В множестве

$\{0,1,2,3,4,5\}$ выбрано 32 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.
комментарий/решение(1)