Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 8 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Әрбір

$i = 1,2,\ldots,n$ үшін

$|d_i| \le 1$ болатын

$d_1,$

$d_2,$

$\ldots,$

$d_n$ сандар тізбегі берілген. Әрбір

$i = 1,2,\ldots,n$ үшін

$|s_1d_1+s_2d_2+\ldots + s_id_i |\le 1$ болатындай

$+1$ мен

$-1$ -ден тұратын

$s_1,$

$s_2,$

$\ldots,$

$s_n$ тізбегі табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі

$M$ болсын. Егер

$AMB,$

$BMC,$

$CMA$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса,

$ABC$ үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Бүтін сандардан құралған

$A$ жиынының ең кіші элементі 1-ге, ал ең үлкені 100-ге тең.

$A$ -ның 1-ден өзге әрбір элементі

$A$ -ның екі санының қосындысына тең (бұл екі сан өзара тең болуы мүмкін). Осы шартты қанағаттандыратын

$A$ жиындарының ішінен элементтерінің саны ең аз болатынын көрсет.
комментарий/решение

Есеп №4.

$(1 + \sqrt 2)^{2018}$ санын

$a + b \sqrt 2$ түрінде, мұндағы

$a$ мен

$b$ өзара жай бүтін сандар, жазуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Төбелері берілген дөңес көпбұрыштың қабырғаларында жататын кез келген үшбұрыштың ауданы 1-ден кіші болса, бұл көпбұрыш ауданы 4-ке тең бір үшбұрыштың ішінде жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Егер

$\{0,1,2,3,4,5\}$ жиынынан, әрбір үшеуінің ортақ элементі бар болатындай етіп, 32 ішкі жиын таңдалса, онда олардың бәріне ортақ элемент табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)