қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 8 сынып
Есеп №1. Әрбір $i = 1,2,\ldots,n$ үшін $|d_i| \le 1$ болатын $d_1,$ $d_2,$ $\ldots,$ $d_n$ сандар тізбегі берілген. Әрбір $i = 1,2,\ldots,n$ үшін $|s_1d_1+s_2d_2+\ldots + s_id_i |\le 1$ болатындай $+1$ мен $-1$-ден тұратын $s_1,$ $s_2,$ $\ldots,$ $s_n$ тізбегі табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі $M$ болсын. Егер $AMB,$ $BMC,$ $CMA$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, $ABC$ үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. Бүтін сандардан құралған $A$ жиынының ең кіші элементі 1-ге, ал ең үлкені 100-ге тең. $A$-ның 1-ден өзге әрбір элементі $A$-ның екі санының қосындысына тең (бұл екі сан өзара тең болуы мүмкін). Осы шартты қанағаттандыратын $A$ жиындарының ішінен элементтерінің саны ең аз болатынын көрсет.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $(1 + \sqrt 2)^{2018}$ санын $a + b \sqrt 2$ түрінде, мұндағы $a$ мен $b$ өзара жай бүтін сандар, жазуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Төбелері берілген дөңес көпбұрыштың қабырғаларында жататын кез келген үшбұрыштың ауданы 1-ден кіші болса, бұл көпбұрыш ауданы 4-ке тең бір үшбұрыштың ішінде жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Егер $\{0,1,2,3,4,5\}$ жиынынан, әрбір үшеуінің ортақ элементі бар болатындай етіп, 32 ішкі жиын таңдалса, онда олардың бәріне ортақ элемент табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)