Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 8 сынып
Әрбір i=1,2,…,n үшін |di|≤1 болатын d1, d2, …, dn сандар тізбегі берілген. Әрбір i=1,2,…,n үшін |s1d1+s2d2+…+sidi|≤1 болатындай +1 мен −1-ден тұратын s1, s2, …, sn тізбегі табылатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что |disi|≤1 для всех i=1,2,...,n. Выберем s1=1.
Дадим медот выборки si∈{-1;1} для любого i=1,2,...,n.
1) Если d1s1:0≤d1s1≤1
1.1) а d2:0≤d2≤1 то тогда выберем s2=−1, и проверим выходит ли модуль суммы меньше еденицы:
0≤d1s1≤1
−1≤d2s2≤0
Суммируев данные неравенства получим −1≤d1s1+d2s2≤1 что и есть |d1s1+d2s2|≤1;
1.2) а d2:−1≤d2<0, тогда выберем s2=1;
2) Если d1s1:0≤d1s1≤1
2.1) а d2:−1≤d2<0 то тогда выберем s2=1;
2.2) а d2:−1≤d2<0 то тогда выберем s2=−1.
Этим методом можно для последовательности {di} подобрать последовательность {si}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.