Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 8 класс

Задана последовательность чисел $d_1,$ $d_2,$ $\ldots,$ $d_n$ такая, что $|d_i| \le 1$ для любого $i = 1,2,\ldots,n.$ Докажите, что можно выбрать последовательность $s_1,$ $s_2,$ $\ldots,$ $s_n$ чисел из $+1$ и $-1$ так, что для всех $i = 1,2, \ldots,n$ выполнится $|s_1d_1+s_2d_2+\ldots + s_id_i |\le 1.$

Комментарий/решение

Заметим что $|d_is_i| \leq 1$ для всех $i=1,2,...,n$. Выберем $s_1=1$.

Дадим медот выборки $s_i \in${-1;1} для любого $i=1,2,...,n$.

1) Если $d_1s_1 : 0\leq d_1s_1\leq1$

1.1) а $d_2 : 0\leq d_2 \leq 1$ то тогда выберем $s_2=-1$, и проверим выходит ли модуль суммы меньше еденицы:

$$0 \leq d_1s_1 \leq 1$$

$$-1 \leq d_2s_2 \leq0$$

Суммируев данные неравенства получим $-1 \leq d_1s_1+d_2s_2 \leq 1$ что и есть $|d_1s_1+d_2s_2|\leq1$;

1.2) а $d_2 : -1 \leq d_2 <0$, тогда выберем $s_2=1$;

2) Если $d_1s_1 : 0 \leq d_1s_1 \leq1$

2.1) а $d_2 : -1 \leq d_2<0$ то тогда выберем $s_2=1$;

2.2) а $d_2 : -1 \leq d_2 <0$ то тогда выберем $s_2=-1$.

Этим методом можно для последовательности {$d_i$} подобрать последовательность {$s_i$}.