Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 8 класс

В множестве $\{0,1,2,3,4,5\}$ выбрано 32 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Комментарий/решение

Примем число, 0 как фиксированный элемент.

Составим 31 подмножеств. Сочетания

из 5-ти элементов по одному-5

из 5-ти элеменов по два -10

из 5-ти элементов по три - 10

из 5-ти элементов по четыре - 5

из 5-ти элементов по пять - 1.

К каждому 31 подмножеству добавим фиксированный элемент 0 и подмножество, состоящее только из 0.

Получено 32 подмножества

Каждые три подмножества имеют общий элемент, т.к. каждый из них содержит общий элемент 0.