3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 1 тур, 2018 г.

Есеп №1. Вычислите $(((1111:11+1010):101+110):11):11$.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Определите количество чисел из следующего ряда, которые уменьшаются, если их прочитать справа налево: 1991, 2323, 2112, 2222, 3131, 2332, 5252?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Какое минимальное число кубиков необходимо, чтобы построить пирамиду на рисунке ниже? (Кубик не может висеть в воздухе, он должен опираться на землю или на другой кубик.)

комментарий/решение(2)

Есеп №4. Обозначим через $n!$ произведение всех натуральных чисел от 1 до $n.$ (Например, $4!=1\cdot2 \cdot3 \cdot4$.) Какой цифрой оканчивается сумма $1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!$?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Фигуры $P,$ $Q,$ $R$ и $S$ — квадраты (смотри рисунок ниже). Периметр квадрата $P$ равен 16~м, а периметр квадрата $Q$ равен 24~м. Чему равен периметр квадрата $S$?

комментарий/решение(1)

Есеп №6. Девятизначное число $2018\! *\! 2018$ делится на 11. Найдите цифру, заменённую звездочкой.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Сколько существует пар двузначных чисел, разность которых равна 32?
комментарий/решение(2)

Есеп №9. Если $b= a+ 7,$ $c=b-9,$ $d= c+4,$ то какое из чисел $a,$ $b,$ $c$ и $d$ наибольшее?
комментарий/решение(3)

Есеп №10. Гепард пробегает полкилометра за полминуты. С какой скоростью он бежит? Ответ дайте в км/час.
комментарий/решение(1)

Есеп №11. На выставку EXPO-2017, проходившую в Астане, на которой насчитывалось 111 павильонов, прибыла группа туристов. Известно, что каждый турист из этой группы посетил ровно 37 павильонов, а каждый павильон принял ровно 3 туриста из этой группы. Сколько всего было туристов в этой группе?
комментарий/решение(1)

Есеп №12. Пусть $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{1}{3},$ $c=\frac{1}{4}$. Вычислите: $a:b:c+a:c:b+b:a:c+b:c:a+c:b:a+c:a:b.$
комментарий/решение(1)

Есеп №13. Картофель подешевел на $20\%$. На сколько процентов больше картофеля можно купить на ту же сумму денег?
комментарий/решение(2)

Есеп №14. Мама может прополоть одну грядку за 7 часов непрерывной работы, а вместе с дочкой за — 5 часов. За какое время справится с работой дочка, если будет полоть грядку одна? (Укажите ответ в часах.)
комментарий/решение(1)

Есеп №15. Возле любой вершины восьмиугольника надо написать одно из чисел 1, 2, 3 или 4. Три числа уже написаны (смотри рисунок ниже). Сколько раз будет написано число 4, если на концах каждого нарисованного отрезка, соединяющего две вершины, должны стоять разные числа?

комментарий/решение(1)

Есеп №16. При сложении двух целых чисел мальчик поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 6641 вместо 2411. Какие числа он складывал?
комментарий/решение(1)

Есеп №17. Пусть $N$ — наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 2, 3, 4, 5 и 6 различны. Какой остаток дает $ N$ при делении на 5?
комментарий/решение(2)

Есеп №18. На стене висят двое часов. Одни часы показывают точное время, а другие спешат. Сейчас угол между часовыми стрелками этих часов равен $72^\circ$. Чему равен угол между минутными стрелками этих часов?
комментарий/решение(2)

Есеп №19. Назовем натуральное число красивым, если при делении этого числа на один из его делителей частное будет равно этому делителю. Сколько всего существует красивых чисел, меньших 1000?
комментарий/решение(1)

Есеп №20. На олимпиаде «Аль-Фараби» организаторы решили запустить в аудиторию всех участников сразу. За 5 минут до начала олимпиады перед аудиторией выстроилась очередь. Через минуту между каждыми двумя участниками, стоящими в очереди, влезло по человеку; еще через минуту — по два человека между каждыми двумя в новой очереди; еще через минуту — по три. И наконец, за минуту до начала олимпиады между каждыми двумя участниками в очереди влезло по четыре человека, после чего организаторы рассадили всех по местам. Сколько же было человек в самой первой очереди, если в итоге пришло 361 участников?
комментарий/решение(3)