қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2018 год
Задача №1. На уроке математики присутствует простое число учеников $p$. Учитель определил каждому ученику номер $0$ до $p-1$ и задал им следующее упражнение: каждый ученик должен посчитать сумму чисел от нуля до $k$, для каждого $k$ от $0$ до $p-1$, а затем найти остаток от деления полученной суммы на $p$. Если остаток совпадает с номером ученика, то он должен записать число $k$ в свою тетрадь. Определите, сколько учеников не запишут в свои тетради ни одного числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В треугольнике $ABC$: $BC\ge CA \ge AB$. Из вершин $B$ и $C$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. Внутри треугольника $AKL$ выбрана точка $X$, из которой опущены перпендикуляры $XY$ и $XZ$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что $XY+YZ+ZX < AC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. 16 учащихся записались на 20 различных кружков. В каждом кружке состоит по 4 ученика. Возможно ли, что при этом любые два ученика вместе ходят в точности на один кружок?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению
$Q(x^2)+x(3Q(x)+Q(-x))=(Q(x))^2+2x^2$ для всех действительных $x$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)